Giuseppe Puccio: Что такое функция?

Что такое функция? Что такое функциональная информация? Как её измерять?

• Автор: Giuseppe Puccio. Статья здесь. Перевод мой.

Давайте разберёмся. Очень часто понятие функции представляется спорным [не математическое, конечно, c ним всё ясно, а эмпирическое в контексте распознавания - прим. перев.]. Функция из тех понятий, которые на интуитивном уровне ясны всем, но определить которые никто не решается. Поэтому нередко случается, что когда вы пытаетесь использовать его в дискуссии, собеседник тут же задает вам вопрос: а что же такое функция и как её измерить?

Попытаемся дать определение функции и предложить меру сложности функции. Прежде чем сделать это, оговоримся, что мы рассматриваем данный вопрос с точки зрения эмпирической, а не философской. Поэтому нас будет интересовать лишь то, что можно наблюдать. Следовательно, мы будем опираться на наблюдаемое: на объекты, события, иначе говоря, на факты. Как обычно, к числу наблюдаемого я буду относить агентов, наделённых сознанием, в частности, людей. Как следствие, мы будем учитывать как наблюдаемое и все те процессы, которые протекают в сознании человека, в том числе, субъективный опыт понимания и целеполагания. Последние не могут быть определены иначе как субъективные переживания в контексте сознания. Но поскольку мы сами также обладаем сознанием, нам также доступно как наблюдение, так и понимание рассматриваемых феноменов. 

После того, как сделаны важные замечания, введём два немного различающихся, но взаимосвязанных определения: функция и функциональность: 

a) Наблюдатель, или агент, обладающий сознанием, связывает некоторый наблюдаемый им объект X с определенным желаемым результатом, достижимым с использованием этого объекта в том или ином контексте. В таком случае говорят, что агент задаёт функцию f объекта X. 

b) Некоторый объект X может быть использован агентом с целью достижения желаемого результата в определённом контексте, в соответствии с заданной функцией f(X). В таком случае по отношению к объекту говорят, что X имеет функциональность, отвечающую функции f. 

Различие определений a и b должно быть понятно, и всё же я явно сформулирую его. Функция — это идея в сознании агента и поэтому она присутствует лишь в субъективном переживании наблюдателя, но не существует в материальном мире вне сознания агента. Функциональность, напротив, есть объективное свойство материальных объектов вне зависимости от нашего сознания. Наблюдатель необходим для связи между функциональностью и функцией. Рассмотрим пример. 

Камни

Иллюстрация из оригинальной статьи.

Я наблюдатель, обладающий сознанием. Я нахожусь на пляже, где есть множество камней. В моём сознании, существует представление использования камня как орудия, с помощью которого можно достичь определённого результата, скажем, рубки древесины. Далее я выбираю тот или иной камень, который мне кажется годным для этой цели. 

Итак, у нас есть: 

a) Функция: рубка дерева. Это представление в сознании наблюдателя, устанавливающее связь между отдельным камнем и желаемым результатом. Функция существует не в камне, а в сознании агента. 

b) Функциональность в выбранном камне: данный камень может быть использован для достижения желаемой цели. Что же делает тот или иной камень пригодным или непригодным для достижения результата? Его свойства. Прежде всего, это прочность и твердость, так как для рубки дерева необходимо прочное и твёрдое орудие. Камни обладают этими свойствами. Но не всякий камень подойдёт: объект также должен иметь требуемые габариты и форму для того, чтобы с его помощью можно было рубить дерево. 

 

На пляже предположительно найдётся множество камней, удовлетворяющих этим требованиям. Представим, что всего на пляже имеется 10⁶ камней. Проклассифицируем каждый камень по двоичному критерию: годный/негодный для рубки дерева. Классификация равносильна введению объективного определения того, сколько и какой древесины должно быть нарублено с помощью камня, чтобы ему считаться годным. Имея в распоряжении такое определение, мы считаем число годных камней. 

 

Множество всех камней назовём пространством поиска, а множество годных камней целевым (под)пространством. Количеством функциональной информации, соответствующей заданной функции в системе, включающей все камни на пляже, назовём величину: –log₂(размер целевого подпространства / размер пространства поиска). Количество ф.и. выражается в битах, так как мы берём –log₂ [более корректно нужно было бы для обоснования логарифмирования сослаться на то, как это делается для шенноновской информации: вводится так наз. информационная энтропия такая, что при единичной вероятности наблюдения некоторого возможного исхода она минимальна, при равной вероятности любого исхода максимальна; и вот как раз величина –p * log₂p это математически обеспечивает — прим.перев.]. 

 Пусть, например, 10⁴ камней годятся для рубки дерева. Тогда количество функциональной информации в системе будет составлять: –log₂(10⁴/10⁶) = –log₂10^-2 = 6.64386 бит. Что это означает на практике? Это значит, что в среднем один из ста камешков является годным для рубки дерева и что если мы случайно будем выбирать камни, то вероятность найти годный составит 0.01 = 2^-6.64386. Надеюсь, с этим всё ясно. 

 

А теперь ещё несколько определений: 

 

c) Спецификация. При условии, что задан набор объектов (пространство поиска), спецификацией по отношению к этому набору является явное правило, разбивающее исходное множество объектов на два непересекающихся подмножества: целевое множество и то, что им не является. 

d) Функциональная спецификация — такая спецификация, где правило определяет целевое множество как набор объектов, выполняющих некоторую функцию. При этом функция определена согласно a), а функциональность в соответствии с b) обеспечивается каждым элементом целевого множества. В формулировке спецификации помимо функции могут быть использованы другие свойства объектов, но в нашем разговоре нам интересны только функциональные спецификации. 

 

e) Отношение размера целевого пространства к размеру пространства поиска равно вероятности получить объект из целевого пространства случайным выбором при условии, что случайный выбор любого объекта равновероятен (условие равной вероятности [, или максимальной энтропии — прим. перев.]). 

 

f) Количество функциональной информации (ф.и.) в битах есть –log₂ отношения e). Слово "информация" здесь не несёт никакой дополнительной нагрузки. Мы могли бы вообще не использовать это слово в нашей терминологии. В своих рассуждениях я имею в виду только то, что я здесь определил, и ничего более [Очень много копий было поломано в баталиях по поводу определений информации. Автор пишет, что то, как надо и как не надо определять информацию, вообще не является важным в его рассуждениях — прим.перев.]. Количество ф.и. в битах выражается действительными числами. Значения количества ф.и. различны для различных функций и систем. Однако без потери общности можно говорить о функции, выражающейся категориальными значениями (например, бинарными), а не действительными числами. Например, мы могли бы для некоторой системы ввести функциональный порог в X функциональных бит. Далее мы могли бы вычислить значения ф.и. относительно различных функций для нашей системы. В таком случае мы можем говорить, что функция, количество информации для которой превышает введённый нами порог, является сложной. Я не буду обсуждать здесь, как именно выбираются пороговые значения, потому что это тема отдельной будущей публикации о распознавании дизайна. 

g) Функциональная сложность, таким образом, представляет собой бинарную величину, определённую для заданной функции в заданной системе относительно заданной пороговой величины. Функция в той или иной системе может быть рассмотрена как сложная при условии, что количество ф.и. превышает заранее установленный порог. В этом случае говорят также, что объект данной системы, выполняющий соответствующую функцию, является функционально сложным. Иначе говоря, функции, характеризующие систему, могут быть или не быть сложными в зависимости от конкретной системы, определения функции, а также используемого в расчётах порога сложности. h) Наконец, если функция, для которой мы используем объекты системы, связана с цифровой последовательностью, носителями которой являются объекты системы, мы будем говорить о сложной функции в системе с цифровым представлением [в оригинале: digital functionally specified information, dFSI - прим.перев.]. 

Таким образом, функциональная спецификация — частный случай спецификации. В свою очередь, специфическая функция с цифровым представлением — частный случай специфической функции. 

Подведём итоги.

1) В данной публикации я намеренно ничего не говорил о дизайне. В будущем я планирую осветить то, как введённые мной здесь определения можно использовать для распознавания дизайна, а также почему функциональная информация в системе с цифровым представлением очень удобна для распознавания дизайна. 4

2) Читатели могли заметить, что я избегал обсуждения того, что такое информация. Я использовал это слово только в рамках вполне конкретного определения без каких-либо общих информационно-теоретических предпосылок или выводов. 

3) Для одного и того же объекта или множества объектов можно рассматривать совершенно различные функции и соответствующую им функциональность. Каждая функция будет характеризоваться различными значениями ф.и. Например, цифровой планшет можно использовать в качестве пресс-папье, а можно и с целью произвести сложные вычисления. Поэтому ясно, что один и тот же объект может иметь различную функциональность. Понятно также, что и значения ф.и. будут совершенно различны: сравнительно низкие в случае пресс-папье (любой достаточно тяжелый объект сравнимых размеров сгодится для этой цели) и очень высокие в случае вычислительной функции (не так-то легко найти материальный объект, который может работать, как компьютер). 

4) Хотя для того, чтобы ввести определение функции, я и использовал понятие агента, обладающего сознанием, в моем подходе нет ничего субъективного. Агент волен ввести в рассмотрение любую функцию, однако само определение функции должно быть объективным: оно должно включать способ измерения значений функции с тем, чтобы любой желающий мог проверить корректность измерения.